tabla de derivadas

Tabla de derivadas: explicado paso a paso

Las derivadas, efectivas para el cálculo infinitesimal, permite observar claramente en todo el recorrido de la curva, los cambios ola evolución de muchísimos fenómenos físicos, y permite mediante la obtención de los máximos y mínimos, buscar los puntos óptimos de la curva.

En todos los lugares donde se intenta explicar lo que es una derivada, todos los estudiantes terminan haciendo la interrogante, más válida, y más mal contestada en torno a estas: ¿Para qué sirve una derivada?, y los profesores tienden a contestar, “ya más adelante lo entenderán”.

En otros casos, afirman que no consiguen la utilidad de una derivada en el campo de trabajo, y que únicamente les sirvió para aprobar la universidad, pero no tuvo otra utilidad aparte de esa.

tabla de derivadas

¿Qué es y para qué sirve una derivada?

Hagámoslo lo más sencillo y entendible posible. Imaginemos que intentamos subir una motocicleta por unas escaleras, y nos facilitan trozos de madera que iremos colocando de peldaño a peldaño, para facilitar el ascenso por las escaleras.

Cada peldaño, dependiendo de la longitud del mismo, y del ángulo que forme el trozo de madera, forma lo que se conoce como una derivada.

Esto, es lo mismo que decir que, a medida que se va avanzando por los peldaños de la escalera, la pendiente se reduce, ya sea desde un coeficiente ¼, hasta llegar a un coeficiente 10/5, que es igual a 2.

Justamente eso muestra la derivada, la evolución de la pendiente en cada uno de los puntos de inflexión de la curva. Matemáticamente hablando, la derivada tiene que ver con las variaciones que tiene los coeficientes directores de la curva, con relación al eje horizontal.

Pero para entenderlo mucho más fácilmente, la derivada únicamente muestra la evolución de la pendiente a lo largo de una curva.

Si esos trozos de madera, son suplantados por un solo tablero flexible que se coloque sobre la escalera, la motocicleta al subir no sentirá ninguno de los puntos de discontinuidad a o largo de la subida, ya que esta será continua.

En base a esto, se podría describir la subida como una función f(x), que nos  irá dando la altura a la que nos encontramos en cada momento de la subida, mientras que la derivada de la misma función no nos daría la altura, sino el cambio de la función, en relación con la pendiente en cada punto de la subida.

Entonces, decimos que la derivada sirve para poder ver en cada punto de la pendiente, los cambios físicos que esta sufre, además de el cálculo de los puntos donde la pendiente es igual a 0.

En casos más estrictos y desarrollados, al estudiar un hueso, y la cantidad de carbono 14 contenida en el mismo, a través del cálculo de la diferencial, se puede obtener la edad del hueso. 

Nadie puede entender cabalmente lo que es una derivada, si no logra sentirla, observarla, y, sobre todo, imaginarla.

Derivadas en el salón de clases

Al ingreso a la universidad, o en algunos lugares, en la misma educación media diversificada, se presentan los contenidos considerados por muchísimos estudiantes, como tediosos, largos e inentendibles. Para esto, explicaremos las derivadas de una forma super sencilla, práctica, y útil.

Empecemos por entender, que las derivadas preceden a las integrales, pero suceden a los límites. Es decir, que luego de ver límites, continua obligatoriamente las derivadas. Tan esa así, que para hallar el límite fácilmente, basta con derivar la función, en el numerador y en el denominador, y listo.

Tabla de derivadas paso a paso

Una herramienta muy útil para la resolución de las derivadas en un salón de clases, es la conocida tabla de derivadas. Toda derivada tiene una aplicación y un ejemplo que la hace mucho más entendible.

Entendamos entonces un poco más la tabla de derivadas. Empezando por que, en esta, las constantes o números reales se denotan con la letra k, siendo la derivada de una constante, igual a 0.

  • La derivada de una función, según lo presenta la tabla, que no tiene exponentes, es igual a 1. O sea, la derivada de x, es igual a 1.
  • La derivada de la suma de funciones es igual a la suma de la derivada de la primera función, con la derivada de la segunda.
  • Una constante que multiplica a una función es igual a multiplicar la misma constante, por la derivada de la función.
  • La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función derivada, por la segunda sin derivar, más la primera función sin derivar, por la segunda derivada.
  • La derivada de una división de funciones, es igual al numerador derivado, por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar, por el denominador derivado, sobre el denominador al cuadrado.
  • La derivada de una función, elevada a la n, es igual a la misma función, elevada a la n-1, entendiéndose n, como cualquier número real positivo.
  • La derivada de un logaritmo natural es igual a 1, sobre lo que está dentro del logaritmo, mientras que, en el logaritmo exponencial, luego del 1 sobre lo que está dentro del logaritmo, se le multiplica el logaritmo exponencial, y e.
  • En adelante, continúan las derivadas de funciones trigonométricas, donde
    encontramos que la derivada del sen es el cos, pero la del cos, es el -sen. Por otra parte, la derivada de la tang es 1 + tang elevado al cuadrado y la derivada de la cotang, es igual a 1 + cotang2.
  • Por último, aparece la derivada del arcsen(x), que es igual a 1, entre la raíz de 1 – x2, mientras que, la derivada del arccos(x) es igual a -1 sobre la raíz de 1 – x2.
  • La derivada de la arctang es igual a 1, sobre 1-x2.
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